INECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS

Vamos a estudiar ahora inecuaciones con dos incógnitas (x e y), en este caso al graficar la solución, en lugar de hacerlo en un sistema de ejes cartesianos, es decir se graficará en el plano.

Una inecuación con dos incógnitas, determina una región del plano, (de hecho inclusive una inecuación con una incógnita también puede determinar una región del plano, como veremos más adelante).

Vamos a resolver este tipo de inecuaciones en forma gráfica. Tomemos por ejemplo:

x + y ≤ 4

Como podemos ver, la suma de x + y debe ser siempre menor o igual a 4, y por supuesto hay infinitos pares de valores (x ,y) que cumplen la desigualdad.

Para determinar estos valores (que conformaran la región del plano que marcaremos como solución) dividiremos el problema en dos partes.

Primero determinaremos la recta que es el "límite" entre la región solución y la que no lo es.

Y luego que tenemos la recta, solo nos resta determinar de que "lado" de ésta se encuentra la solución.

Hechas estas aclaraciones, veamos el procedimiento:

x + y ≤ 4

La recta:       (Trabajaremos este punto como si fuera una ecuación), despejamos la "y" para tener la ecuación de la recta y luego la graficamos por cualquiera de las formas que conozcas. Yo prefiero encontrar dos puntos pertenecientes a la recta, ubicarlos en el plano y con ellos graficar la recta.

  

x + y = 4 ⇒ y = 4 - x

Si x = 0 ⇒ y = 4 - 0 ⇒ y = 4

(Recomiendo elegir siempre x= 0 para el primer punto)

Si x = 4 ⇒ y = 4 - 4 ⇒ y = 0

(El segundo valor de x puede ser cualquiera que creas

  conveniente).

Un detalle importante, como el signo en la inecuación original era "≤" al graficar la recta lo hacemos con trazo lleno (lo mismo hubiera sido con el signo "≥"). Pero para los signos "<" y ">" la gráfica de la recta sería con trazo discontinuo.

La región:

Trabajaremos ahora con la inecuación, y lo que haremos es elegir un punto del plano y verificar si para este punto es cierta la inecuación. El punto en cuestión puede ser cualquiera, pero recomiendo usar el (0,0) ya que simplifica muchísimo el cálculo.

  

Para ( 0,0 )  ⇒   x + y ≤ 4   ⇒   0 + 0 ≤ 4   ⇒   0 ≤ 4

Como es cierto que 0 ≤ 4 entonces este punto pertenece a la solución, por lo tanto todos los puntos de ese lado de la recta son solución de la inecuación, por lo tanto pintamos esa región.

Si al hacer la verificación el resultado no fuera cierto, sencillamente se pinta la otra región.

Veamos otro ejemplo:

2 x + y > 3

La recta:       (recuerda, tratamos este punto cono una ecuación)

  

2 x + y = 3 ⇒ y = 3 - 2 x

Si x = 0 ⇒ y = 3 - 0 . x ⇒ y = 3 - 0 ⇒ y = 3

Si x = 2 ⇒ y = 3 - 2 . 2 ⇒ y = 3 - 4 ⇒ y = - 1

La recta se grafica en trazo discontinuo, pues ésta no forma parte de la solución.

La región:       (recuerda, trabajaremos en este punto con la inecuación).

  

Evaluaremos en el punto: ( 0,0 )

Para ( 0,0 ) ⇒ 2 x + y > 3 ⇒ 0 + 0 > 3 ⇒ 0 > 3 ( NO es cierto que cero, sea mayor a 3, por lo tanto hay que pintar la región donde NO está el punto ( 0,0 ).

Como lo mencione antes, también se puede, cuando solo hay una incógnita, encontrar una región del plano como solución.

     

En estos casos no hay mucho que calcular.

Si es: x se traza una línea vertical por dicho valor y se pinta la zona de la derecha para el signo ">" o"≥", en tanto que, se pinta la zona de la izquierda para el signo "<" o "≤".

Si es: y se traza una línea horizontal por dicho valor y se pinta la zona superior para el signo ">" o"≥", en tanto que, se pinta la zona inferior para el signo "<" o "≤".

Siempre teniendo el cuidado de hacer la recta en trazo lleno o discontinuo según corresponda.

Su solución es uno de los semiplanos que resulta de representar la ecuación resultante, que se obtiene al transformar la desigualdad en una igualdad.

2x + y ≤ 3

1º Transformamos la desigualdad en igualdad.

2x + y = 3

2º Damos a una de las dos variables dos valores, con lo que obtenemos dos puntos.

x = 0;     2 · 0 + y = 3;   y = 3;          (0, 3)

x = 1;     2 · 1 + y = 3;   y = 1;          (1, 1)

3º Al representar y unir estos puntos obtenemos una recta.

4º Tomamos un punto, por ejemplo el (0, 0), los sustituimos en la desigualdad. Si se cumple, la solución es el semiplano donde se encuentra el punto, si no la solución será el otro semiplano.

2x + y ≤ 3

2 · 0 + 0 ≤ 3       0 ≤ 3      Sí

2x + y > 3

2 · 0 + 0 > 3       0 > 3      No

En este caso (mayor que, pero no igual) los puntos de la recta no pertenecen a la solución.

 Una inecuación en dos variables es una inecuación que puede ser escrita como:

$a$ x + b y < c

o cualquier expresión de la forma anterior que, en lugar del símbolo < incluya cualquier otro símbolo de desigualdad: > , ≤ o ≥
donde a, b y c son constantes y x y y son variables. Resolver una inecuación en dos variables consiste en encontrar todos los pares de valores de (x,y) para los cuales se cumple la desigualdad.
Tal como vimos en el tutorial de ecuaciones lineales en una dimensión, cuando intercambiamos el signo de desigualdad por el signo igual, obtenemos una ecuación que viene a ser la frontera de la solución de la desigualdad. Por ejemplo, consideremos la siguiente desigualdad: $y$ < x .
Cambiando el signo < por el signo = obtenemos la ecuación: $y$ = x . La gráfica de esta ecuación es una recta que divide el plano en dos regiones como se muestra en la siguiente figura:

Tomemos un punto cualquiera en la región roja, por ejemplo el punto (1,-1). Donde x=1 y y=-1. Como -1<1, este par de valores satisface la desigualdad: $y$ < x .
Tomemos otro punto en la región roja, por ejemplo el punto (2,1). Donde x=2 y y=1. Como 1<2, este par de valores satisface la desigualdad: $y$ < x .
Trata de encontrar un punto en la región roja tal que $y$ > x . Verás que no es posible conseguir un punto que cumpla esas condiciones.
En conclusión, cualquier punto de la región roja satisface la desiguldad $y$ < x .
Del mismo modo, cualquier punto en la región amarilla, satisface la desiguldad $y$ > x . Compruébalo seleccionando puntos al azar de la región amarilla.
En general, al cambiar el signo de desigualdad por el signo = obtenemos una ecuación de una recta que viene a ser la frontera de la solución de la inecuación.
Oprime el botón de abajo para practicar visualizando como igualdades dividen el plano xy.

LINK: http://quiz.uprm.edu/